隨機平均法及其應用.上冊 朱位秋 鄧茂林 9787030743015 【台灣高等教育出版社】

內容簡介
隨機平均法是研究非線性隨機動力學*有效且應用*廣泛的近似解析方法之一。《隨機平均法上冊》是專門論述隨機平均法的著作，介紹了隨機平均法的基本原理，給出了多種隨機激勵（高斯白雜訊、高斯和泊松白雜訊、分數高斯雜訊、色雜訊、諧和與寬頻雜訊等）下多種類型非線性系統（擬哈密頓系統、擬廣義哈密頓系統、含遺傳效應力系統等）的隨機平均法以及在自然科學和技術科學中的若干應用，主要是近30年來浙江大學朱位秋院士團隊與美國佛羅里達大西洋大學Y K Lin院士和蔡國強教授關於隨機平均法的研究成果的系統總結。《隨機平均法上冊》論述深入淺出，同時提供了必要的預備知識與眾多算例，以利讀者理解與掌握《隨機平均法上冊》內容。

目錄

目錄
前言
第1章緒論1
參考文獻6
第2章隨機過程7
2 1隨機過程基礎7
2 1 1隨機過程的描述8
2 1 2平穩性和遍歷性10
2 1 3譜分析13
2 2高斯隨機過程18
2 3馬爾可夫過程18
2 3 1馬爾可夫過程和查普曼-柯爾莫哥洛夫-斯莫盧霍夫斯基(CKS)方程19
2 3 2馬爾可夫擴散過程和福克-普朗克-柯爾莫哥洛夫(FPK)方程20
2 3 3維納過程和高斯白雜訊22
2 3 4伊藤隨機微分方程24
2 3 5高斯白雜訊激勵系統的FPK方程27
2 4泊松白雜訊30
2 4 1泊松計數過程30
2 4 2泊松白雜訊31
2 4 3隨機微分積分方程與FPK方程33
2 5分數高斯雜訊39
2 5 1分數階微積分39
2 5 2分數布朗運動40
2 5 3分數高斯雜訊42
2 5 4分數布朗運動的隨機積分與分數隨機微分方程44
2 5 5分數高斯雜訊激勵的線性系統響應46
2 6色雜訊49
2 6 1線性濾波產生的雜訊50
2 6 2非線性濾波產生的雜訊51
2 6 3隨機化諧和雜訊57
參考文獻60
第3章非線性隨機動力學系統62
3 1隨機動力學系統模型62
3 2哈密頓系統及其分類64
3 2 1哈密頓方程64
3 2 2泊松括弧68
3 2 3相流69
3 2 4正則變換69
3 2 5完全可積哈密頓系統70
3 2 6不可積哈密頓系統74
3 2 7部分可積哈密頓系統76
3 2 8哈密頓系統的遍歷性76
3 2 9隨機激勵的耗散的哈密頓系統77
3 3廣義哈密頓系統及其分類78
3 4有遺傳效應的力84
3 4 1滯遲恢復力84
3 4 2黏彈性力93
3 4 3分數階導數阻尼力97
參考文獻98
第4章單自由度系統的隨機平均法100
4 1隨機平均原理100
4 2隨機平均法106
4 2 1幅值包線隨機平均法106
4 2 2能量包線隨機平均法109
4 3高斯白雜訊激勵的系統112
4 3 1線性恢復力112
4 3 2非線性恢復力116
4 4寬頻雜訊激勵118
4 4 1線性恢復力118
4 4 2主次系統121
4 4 3依賴於能量的白雜訊近似126
4 4 4傅里葉展開方案127
4 4 5殘差相位步驟132
4 5寬頻雜訊激勵下的黏彈性系統138
4 5 1線性恢復力139
4 5 2非線性恢復力143
4 6雙勢阱系統149
4 6 1雙勢阱的確定系統150
4 6 2隨機平均153
4 7寬頻雜訊與諧和共同激勵的系統158
4 8泊松白雜訊激勵的系統168
4 8 1幅值包線168
4 8 2能量包線174
4 9分數高斯雜訊激勵的系統176
參考文獻182
第5章高斯白雜訊激勵下擬哈密頓系統隨機平均法185
5 1擬不可積哈密頓系統185
5 2擬可積哈密頓系統197
5 2 1非內共振情形198
5 2 2內共振情形204
5 3擬部分可積哈密頓系統211
5 3 1非內共振情形212
5 3 2內共振情形215
5 4二自由度碰撞振動系統的平穩響應224
5 4 1精確平穩解225
5 4 2應用擬不可積哈密頓系統隨機平均法228
5 4 3應用擬可積哈密頓系統隨機平均法233
5 4 4擬不可積和擬可積哈密頓系統隨機平均法的綜合應用239
5 5含馬爾可夫跳變參數的擬不可積哈密頓系統242
5 5 1單自由度系統243
5 5 2多自由度系統250
參考文獻256
第6章高斯與泊松白雜訊共同激勵下擬哈密頓系統隨機平均法258
6 1高斯與泊松白雜訊共同激勵的擬哈密頓系統258
6 2擬不可積哈密頓系統260
6 2 1高斯與泊松白雜訊共同激勵260
6 2 2泊松白雜訊激勵272
6 3擬可積哈密頓系統283
6 3 1非內共振情形284
6 3 2內共振情形291
6 4擬部分可積哈密頓系統309
6 4 1非內共振情形311
6 4 2內共振情形315
參考文獻335
第7章分數高斯雜訊激勵下擬哈密頓系統隨機平均法337
7 1分數高斯雜訊激勵的擬哈密頓系統337
7 2擬不可積哈密頓系統338
7 3擬可積哈密頓系統342
7 3 1非內共振情形342
7 3 2內共振情形352
7 4擬部分可積哈密頓系統358
7 4 1非內共振情形358
7 4 2內共振情形369
參考文獻378
索引380

精彩書摘
第1章 緒論
非線性隨機動力學已研究了一甲子，理論上已較成熟，但仍有不少難題 非線性隨機動力學的進步在很大程度上是基於數學中關於馬爾可夫過程與相應隨機微分方程的研究成果 非線性隨機動力學中唯一可精確求解的情形是激勵為白雜訊，非線性動力學系統的響應是馬爾可夫過程，其轉移概率密度服從福克-普朗克-柯爾莫哥洛夫(Fokker-Planck-Kolmogrov，FPK)方程 給定白雜訊激勵的非線性動力學系統，建立與求解FPK方程，得到響應的概率分佈與統計量，就是精確解法 然而白雜訊與馬爾可夫過程都只是數學概念，現實中並不存在 現實中的隨機激勵都是色雜訊，問題是什麼條件下色雜訊可以近似為白雜訊，從而可用上述精確解法? 另外，高維FPK方程求解十分困難，問題是能否與如何降低所要求解的FPK方程的維數，從而降低求解FPK方程的難度或減少計算量? 隨機平均法給出了上述兩方面問題的一種解答，指出當激勵色雜訊的相關時間遠小於系統的鬆弛時間時，該色雜訊可用當量的白雜訊代替；當系統的響應同時包含慢變過程與快變過程時，該系統可用慢變過程的時間平均近似，而當該系統的退化保守系統在某個子流形上遍歷時，時間平均可代之以對快變過程的空間平均，從而消除系統中的快變過程，降低了所要求解的FPK方程的維數 正如本書前言所述，隨機平均法是非線性隨機動力學中一種強有力的近似解析方法，有許多優點，也已獲得相當廣泛的應用
隨機平均法*先由斯特拉托諾維奇(Stratonovich，1963；1967)基於物理考慮提出，並應用於通信系統中的雜訊問題，其後，哈斯敏斯基(Khasminskii，1966)提供了嚴格的數學提法與證明 Papanicolaou和Kohler(Papanicolaou and Kohler，1974)作了引申，Blankenship和Papanicolaou(1978)進一步證明，在時間趨於無窮時平均方程仍近似於原系統 哈斯敏斯基(Khasminskii，1968)又提出了同時含慢變和快變過程的伊藤隨機微分方程的平均原理 ??20世紀七八十年代，隨機平均法被S T Ariaratnam、M F Dimentberg、J B Roberts、P D Spanos等眾多學者應用於研究單、多自由度擬線性和單自由度強非線性隨機振動系統的響應、穩定性及可靠性，他們的研究成果已總結在評述論文(Roberts and Spanos，1986；Zhu，1988；1996)與專著(Dimentberg，1988；朱位秋，1992；Lin and Cai，1995)等中
20世紀90年代中期，Lin和Cai(1995)推導了一般非線性隨機系統的隨機平均方程，明確地區分了隨機平均和時間平均及其條件，給出了非光滑型和光滑型平均方程，並將隨機平均法應用於多種單自由度和二維非線性隨機動力學系統，特別是對生態系統進行了系統的研究(Cai and Lin，2007) 與此同時，朱位秋提出(朱位秋，2003；Zhu，2006)並與合作者及學生髮展了高斯白雜訊激勵的擬哈密頓系統隨機平均法，后又推廣于擬廣義哈密頓系統與含遺傳效應力的擬可積哈密頓系統，推廣于高斯與泊松白雜訊共同激勵、分數高斯雜訊激勵、色雜訊激勵的擬哈密頓系統 本書就是20世紀90年代以來上述兩個團隊關於隨機平均法及其應用研究成果的系統總結
本書內容可分成三部分，**部分包括第2、3章，為本書的預備知識；第二部分包括第4∼10章，為本書的主體，論述各種隨機激勵下各類非線性動力學系統的隨機平均法；第三部分包括第11∼13章，介紹隨機平均法在自然科學和技術科學中的若干應用 以下介紹各章主要內容和要點
第2章中介紹本書所涉及的隨機過程與相應的隨機微分方程及微分規則，包括高斯白雜訊、擴散過程、維納過程與相應的伊藤隨機微分方程、伊藤微分規則及FPK方程；泊松白雜訊、馬爾可夫過程與相應的含複合泊松過程的隨機微分方程，和該隨機微分方程等價的含泊松隨機測度的隨機微分積分方程及Di Paola-Falsone微分規則；分數高斯雜訊與相應的分數隨機微分方程及分數隨機微分規則
第3章中介紹本書所涉及的非線性隨機動力學系統的三種數學模型，即一般表達式、隨機激勵的耗散的拉格朗日方程、隨機激勵的耗散的哈密頓方程 鑒於第三種表達式在本書中用得*多，且多數讀者可能不太熟悉，特意簡述了哈密頓系統與廣義哈密頓系統的定義、基本性質以及它們按可積性和共振性的分類，即分成不可積、(完全)可積非共振、(完全)可積共振、部分可積非共振、部分可積共振五類，特別指出了五類哈密頓系統在其子流形上的遍歷性，為後面以空間平均代替時間平均提供依據 *后介紹了含遺傳效應力，包括滯遲恢復力、黏彈性力及分數階導數阻尼力的數學模型
第4章中*先介紹了隨機平均原理，推導了一般隨機動力學系統的非光滑型和光滑型隨機平均方程，指出隨機平均法中通常涉及隨機平均和時間平均 隨機平均就是當隨機激勵的相關時間遠小於系統鬆弛時間時可用當量的高斯白雜訊代替隨機激勵，時間平均可用於系統含周期性係數時，也可用於系統同時含快變過程和慢變過程時，用慢變過程的時間平均方程近似原系統，從而降低系統的維數，接著詳細推導了分別在高斯白雜訊、寬頻雜訊、寬頻雜訊加諧和、泊松白雜訊、分數高斯雜訊等激勵下的單自由度非線性動力學方程的幅值包線和能量包線隨機平均方程及相應FPK方程，並指出黏彈性力如何解耦為彈性恢復力和黏性阻尼力，以便應用上述隨機平均法 *后，對具有雙勢阱勢能的隨機動力學系統，指出鞍點和同宿軌道為非周期軌道，對它們不能應用上述隨機平均法 因此，必須分區進行隨機平均 第4章包含了隨機平均法的大部分要點，論述和推導都較詳盡，並都用例子加以說明，還用數值模擬結果加以驗證 建議初學隨機平均法的讀者仔細閱讀，深刻領會並掌握該章內容，為閱讀後續各章打下良好基礎
從第5章開始論述多自由度非線性、特別是強非線性系統在多種隨機激勵下的隨機平均法 鑒於用哈密頓提法才能講清楚多自由度強非線性系統各自由度之間的全局關係，因此，第5∼10章中分別論述各種隨機激勵下擬(廣義)哈密頓系統的隨機平均法，按相應(廣義)哈密頓系統的可積性和共振性，分成不可積、(完全)可積非共振、(完全)可積共振、部分可積非共振、部分可積共振五種情形進行表述 第5章是高斯白雜訊激勵，不需要作隨機平均，只需分五種情形找出慢變隨機過程，推導它們的伊藤隨機微分方程，再對它們的漂移和擴散係數作時間平均 此處關鍵之一是，如何利用五種情形哈密頓系統在某個子流形上的遍歷性，以對快變過程的空間平均代替時間平均，從而達到系統降維的目的 關鍵之二是，每種情形如何從求解平均FPK方程所得之平穩概率密度導出原系統的近似概率密度 特別值得一提的是，對任何有限自由度的擬不可積哈密頓系統，平均方程都是一維的，可得統一的平穩概率密度表達式，如同所有線性系統功率譜密度表達式一樣簡單得令人稱奇，但也要付出代價，即對高於兩個自由度的擬不可積哈密頓系統，要完成平均方程係數中的多重域積分是相當困難的 為此，書中介紹了將(2n?1)維域積分化為n重積分的兩步廣義橢圓坐標變換方法 5 4節用一個二自由度碰撞振動系統例子說明，應按系統非線性(不可積性)強度的不同，選取擬可積或擬不可積哈密頓系統隨機平均法 作為一個推廣，*后一節