組合數 遞推序列與同餘式 孫智宏 9787030796653 【台灣高等教育出版社】

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書名：組合數 遞推序列與同餘式
ISBN：9787030796653
出版社：科學
著編譯者：孫智宏
頁數：427
所在地：中國大陸 *此為代購商品
書號：1745947
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內容簡介
《組合數、遞推序列與同餘式》旨在展現數學魅力和作者研究成果， 內容分為兩部分:
第1部分為 基礎知識， 以高中數學為起點， 通俗易懂地介紹第1不等式、抽屜原理、素 數與算術基本定理、組合數與組合恒等式、同餘概念與性質以及代數方程；第二部分為較高級知識， 由淺入深地介紹連分數、同餘覆蓋系、二次互反律、 二元二次型、Chebyshev 多項式、Legendre 多項式、分拆數、線性遞推序列、 組合數等距求和、不變序列、Stirling 數、Bernoulli 數、p-正則函數、三(四) 次同餘式、二項式係數同餘式、類似 Apéry 數、差集和群的概念等美妙知 識， 其中包含了作者的許多相關成果 此外，
第1講介紹數學的本性和特點， *後的附錄介紹數學英雄 Euler

目錄

目錄

前言
常用記號
第1講 數學是什麼 1
1 1 數學的本性 1
1 2 數學的特點 2
參考讀物 4
第2講
第1不等式 5
參考讀物 12
第3講 抽屜原理與Ramsey定理 13
3 1 抽屜原理 13
3 2 Ramsey數 R(n， k) 15
參考讀物 18
第4講 組合數與組合恒等式 19
參考讀物 28
第5講 連分數與Pell方程 29
5 1 輾轉相除法 29
5 2 有限連分數 30
5 3 無限連分數 32
5 4 循環連分數 39
5 5 d連分數與Pell方程 43
參考讀物 49
第6講 代數方程 50
參考讀物 60
第7講 素數與同余方程 61
7 1 素數 61
7 2 同餘概念與性質 64
7 3 Fermat小定理和Wilson定理 65
7 4 同余方程 67
參考讀物 68
第8講 同餘覆蓋系 69
參考讀物 78
第9講 二次互反律 79
參考讀物 86
第10講 Chebyshev 多項式 87
參考讀物 92
第11講 Legendre多項式 93
參考讀物 101
第12講 sin x的無窮乘積公式 102
參考讀物 106
第13講 二元二次型 107
參考讀物 122
第14講 分拆數與因子和 123
參考讀物 132
第15講 Stirling數 133
參考讀物 148
第16講 p-正則函數 149
參考讀物 157
第17講 Bernoulli數與 Euler數 158
17 1 Bernoulli數與Bernoulli多項式 158
17 2 Euler數與Euler多項式 170
參考讀物 177
第18講 線性遞推序列與三、四次同餘式 179
18 1 高階遞推序列 179
18 2 Lucas序列 185
18 3 三、四次同餘式 190
參考讀物 199
第19講 組合數等距求和公式及其應用 201
19 1 Tnr(3)與Tnr(4)公式及其應用 201
19 2 Tn r(5)與Tnr(6)公式 206
19 3 Sr(n)遞推關係與Tnr(9)公式 211
19 4 Tnr(8)公式與Pell數同餘式 218
19 5 Tnr(10)公式與Fibonacci數同餘式 223
19 6 Tnr(12)公式 231
19 7 與Tnr(m)有關的同餘式 234
參考讀物 236
第20講 不變序列與反不變序列 237
20 1 不變序列例子與轉換關係 237
20 2 不變序列的遞推關係 249
20 3 不變序列的變換公式 259
20 4 不變序列的同餘式 263
參考讀物 267
第21講 二項式係數的同餘式 268
21 1 單個二項式係數和的同餘式 268
21 2 兩個二項式係數乘積之和的同餘式 281
21 3 三個二項式係數乘積之和的同餘式 308
參考讀物 325
第22講 類似Apéry數 328
22 1 三項遞推序列的恒等式與同餘式 328
22 2
第1類Apéry-like數 332
22 3
第二類Apéry-like數 365
參考讀物 390
第23講 群的概念與性質 395
23 1 群的定義與例 395
23 2 陪集與Lagrange定理 399
23 3 子群與正規子群 401
23 4 群的同構 403
參考讀物 404
第24講 三、四次剩餘 405
24 1 Euler與Gauss關於三、四次剩餘的工作 405
24 2 三次互反律及其優先權爭論 407
24 3 Dirichlet， Scholz和Burde的有理四次互反律 409
24 4 用群表述的有理三、四次互反律 410
24 5 用二元二次型判別三、四次剩餘 413
參考讀物 414
第25講 對稱設計與差集 416
25 1 對稱設計 416
25 2 差集 419
參考讀物 422
附錄 數學英雄Euler 423
參考讀物 427

精彩書摘
第1講 數學是什麼
Comte (科姆特): 數學是人類理性*原始的源泉
數學是人類征服自然的有力武器 本講闡述數學的本性和特點
1 1 數學的本性
數學位於一切科學之*， 滲透到自然科學和日常生活中， 每個受教育的人都要學習數學 那數學到底是什麼， 不同的人會有不同的理解 在一般人心目中數學是抽象難懂的天書， 學生會認為數學是智力遊戲， 工程師和物理學家認為數學只是他們用到的一種方法和工具， 有的哲學家認為數學不過是一小串一小串無聊的邏輯推理組成的長鏈， 而數學家則認為數學是一門崇高的藝術
要想給數學下個準確定義是很難的， 隨著時代的變遷， 數學的含義和內容會有所不同 例如: 在 18 世紀， 力學是數學的分支; 現在， 力學則是物理的分支 革命導師 Engels (恩格斯) 認為數學是研究現實世界空間形式與數量關係的一門科學， 這包括了算術、代數和幾何學 但現在數學不只是算術、代數和幾何， 還有拓撲、分析和概率論等分支， 因此該定義已不再實用 法國大數學家 Weil (韋伊) 說，非要給某些東西下定義是愚蠢的 例如: 貓不一定會定義什麼是老鼠， 但他聞到鼠味就知道是老鼠， 不是老鼠也能辨別， 這就夠了 儘管很難給數學下定義， 但數學的一些共同特徵是人們所公認的
1 數學是一項崇高的智力活動
毫無疑問， 數學訓練人的思維， 反映人們積極進取的意志， 以及對嚴謹推理及完美境界的追求 數學與音樂看起來風馬牛不相及， 但這兩個學科卻極為相似， 都是用簡單的阿拉伯數字和若干符號編織無限奇妙的世界
Poincaré (龐加萊): 數學研究所用外部景觀*少， 探討內在世界*多， 因而*接近人類心靈的本質
Selberg (塞爾貝格): 我很同情非數學家， 我覺得他們失去了一種*激動人心的報酬豐厚的智力活動
2 數學是人類征服自然的有力武器
自歐洲文藝復興以來， 人們就確信大自然是用數學設計的 Kepler (開普勒)說: “自然界的和諧是上帝用數學語言透露給我們的 ” 可以說， 數學是科學的催生婆， 它的成長和發展伴隨著宇宙的歡呼
數學是研究自然的重要方法和打開自然奧秘的鑰匙 反過來， 數學也深受自然科學的影響 數學的*初思想與*好靈感都來自於經驗， Fourier (傅里葉) 有句名言: “對自然界的深刻研究乃是數學發現*富饒的源泉 ”的確， 今天數學中的大部分分支都是由自然科學特別是物理學所激勵而產生的 自然科學不斷地向數學提出問題， 而這些問題的解決就促進了數學向前發展 正如大數學家 Poincaré 所說: “物理不僅給我們以解決問題的機會， 而且促使我們預料到問題的解 ”
英國物理學家 Maxwell (麥克斯韋) 在 1873 年出版《電磁通論》， 用高深的數學革新電磁理論， 特別建立了 Maxwell 方程， 並用他的方程式導出電、磁、光的幾乎所有規律 Maxwell 預言變化的電場產生變化的磁場， 變化的磁場產生變化的電場， 從而存在電磁波 他用他的方程式計算了電磁波的速度， 接近每秒 30 萬公里， 與光速一致， 由此他推斷光就是電磁波 當時物理學家與數學家都讀他的書， 數學家認為他創造了一個漂亮的理論， 物理學家覺得用的數學太高深難以讀懂， 物理學家 Boltzmann(玻爾茲曼) 讀了十幾年， 感慨地說: “難道這不是出自上帝之手嗎？” 無論當時的數學家還是物理學家， 幾乎都不相信 Maxwell 理論真實地反映自然界規律 Maxwell去世 8 年後， 物理學家 Hertz (赫茲) 驗證了電磁波的存在並證明了光就是電磁波 可以說， 正因為有了 Maxwell 的電磁理論和 Hertz 的實驗， 才有今天的文明
Einstein (愛因斯坦) 在 1916 年出版《廣義相對論基礎》， 用 Riemann (黎曼) 幾何建立廣義相對論， 並應用於宇宙學研究 玻恩 (Born) 說: “廣義相對論是人類思想史上*偉大的成就， 是物理的直覺、哲學的深奧與數學的技巧*驚人的結合 “ 廣義相對論斷言每個大質量天體都會產生引力場， 導致周圍的時空彎*， 而這彎*的時空結構正好對應 Riemann 幾何， 物理學家關心的場強等物理量與 Riemann 引入的*率等幾何量正好一一對應， 好像物理學變成了幾何學 這令幾代數學家和物理學家激動不已
3 數學是關於定理的學問
此觀點要求人們關注數學定理的五個方面: 怎樣發現定理， 怎樣證明定理， 怎樣理解定理， 怎樣推廣定理， 怎樣應用定理 數學教學中往往忽視指導學生怎樣發現定理， 這直接影響學生數學創造能力的培養
1 2 數學的特點
1 抽象性
數學抽象難懂， 可正因為抽象才更加有用 自然數是抽象的， 1 既可表示一個人，也可表示一本書或一頭豬 點和直線也是抽象的， Euclid (歐幾裡得) 在《幾何原本》中說: 點是沒有大小的， 直線是兩端筆直、沒有寬度、無限延長的 我們生活在三維空間， 可數學家對所有正整數引進 n 維空間， 並研究無窮維空間與分數維空間
2 嚴密性
數學是精確科學， 體現為對現實世界的精確描述以及數學真理的不可爭辯 17 世紀數學家和哲學家 Descartes (笛卡兒) 夢到尋求科學真理的方法只能是數學方法， 立足於公理上的證明是無懈可擊的， 且不是任何權威所能左右的 如果一個默默無聞的大學生解決數學難題， 只要證明正確， *終都會被承認 而一個名人宣佈解決猜想， 只要其證明有錯， *終都不被承認
Hecke (赫克): 在別的學科中， 每代人都推翻前人建立的理論， 而只有在數學中才是每代人都更上一層樓
如在物理學中不同時期對重物下落原因解釋不同， Aristotle (亞裡士多德) 解釋說: 一切物體都有自然位置， 有回到自然位置的本能， 重物中土成分多， 而土的自然位置就在下面， 所以重物下落 Newton (牛頓) 認定重物下落是由於地球的引力， Einstein 則認為重物下落以及行星、衛星運動是引力場造成時空彎*後物體沿短程線運動的必然結果
3 應用性
自 17 世紀以後， 數學在自然科學研究中的重要性與日俱增，
第1顆小行星穀神星的尋找、海王星的預言、Maxwell 的電磁理論、Einstein 的相對論、量子力學的創建都因成功地運用數學而取得巨大成功 今天， 數學也已經滲透到化學、生物學、地質學、經濟學等各個學科， 成為這些學科必不可少的重要工具， 是衡量該學科成熟與否的重要標誌
Demoulins (德莫林斯): 沒有數學， 我們無法看穿哲學的深度；沒有哲學， 人們也無法看穿數學的深度；而若沒有這兩者， 人們就什麼也看不透
Gauss (高斯): 數學是科學的女皇， 也是科學的女僕
White (懷特): 工匠後面是化學家， 化學家後面是物理學家， 而物理學家後面則是數學家
奧地利數學家 Radon (拉東) 於 1917 年發現 Radon 變換及其反演公式， 其核心思想是在知道平面區域上函數積分值後如何重現這個函數，*次從數學上證明了通過多角度投影重建物體內部結構的可行性， 從而從理論上解決了重建人體圖像的問題 這個發現對於數學本身及其應用都有重大影響 *重要的， 毫無疑問，是將 Radon 變換應用於醫學， 導致 CT(computed tomography， 計算機斷層掃描)技術的誕生: 研究隱藏於機體內的形成物的方法， 包括在其照射下獲得目的物的分層影像 體層 X 射線攝影術無疑是 20 世紀後半葉*偉大的技術成果之一
現在許多數學家已經放棄了應用， 只研究

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