Chip-firing中的數學 9787576713329 (美)卡洛琳.J.克利文(Caroline J. Kliva

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書名:Chip-firing中的數學
ISBN:9787576713329
出版社:哈爾濱工業大學
著編譯者:(美)卡洛琳.J.克利文(Caroline J. Kliva
叢書名:國外優秀數學著作原版系列
頁數:303頁
所在地:中國大陸 *此為代購商品
書號:1665663
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【台灣高等教育出版社簡體書】 Chip-firing中的數學 787576713329 (美)卡洛琳.J.克利文(Caroline J. Kliva

內容簡介

本書的第一部分介紹了Chip-firing的基本原理。第一章以對Chip-firing的簡單介紹開始,包括基本動力學的一個擴展的例子。第二章展示了Chip-firing動力學的細節,比如阿貝爾性質、穩定性與臨界性。第三章與組合學有很大的聯繫,其結果是不同的長期穩定構形的數量等於圖的生成樹的數量。此外,我們提出了美利奴(Merino)定理,該定理改進了這個計算,並且由於它與面數的聯繫從而引起了人們對Chip-firing組合學的極大興趣。 第四章和第五章繼續介紹Chip-firing的早期觀點。第四章處理了沙堆群——一個自然與碎片配置相關聯的有限阿貝爾群。第五章討論了模式的形成,包括沙堆群的單位元。正是在這裏,人們發現了Chip-firing模型迷人的分形行為。 本書的第二部分展示了更通用的Chip-firing的一般框架。對Chip-firing是一種由圖拉普拉斯(Laplace)運算元控制的離散擴散形式的觀察構成了第六章的基礎內容。將圖拉普拉斯運算元適當地推廣到其他運算元中會產生新的系統,但它們都具有類似的良好屬性。在這種情況下,Chip-firing可以被視為一種能量最小化系統。 第七章介紹了高維的Chip-firing。高維模型不是圖頂點上的碎片,而是由拓撲復形單元上的流組成的。更高維的Chip-firing帶來了胞腔理論生成的樹和組合拉普拉斯運算元。 第八章介紹了一個由代數幾何驅動的方向。將圖形解釋為代數曲線的組合類比,碎片構形可以被認為是曲線上的除數。第八章還包括了從算術幾何角度出發的Chip-firing以及與二變數zeta函數的連接。 最後,第九章考慮了組合交換代數角度的Chip-firing。Chip-firing的動作在被稱為傾覆理想的二項式理想中被編碼。這裏還介紹了單項式初始理想,即圖的樹理想。我們將看到樹理想的標準單項式與Chip-firing系統的長期穩定構形是雙射的。

目錄

Preface
Ⅰ Fundamentals
1 Introduction
1 1 A brief introduction
1 2 Origins and History
1 2 1 The abelian sandpile model
1 2 2 A combinatorial game
1 2 3 Abstract rewriting systems
2 Chip-firing on Finite Graphs
2 1 The chip-firing process
2 1 1 The graph Laplacian
2 1 2 Cluster-fires
2 2 Confluence
2 3 Stabilization
2 4 Toppling time
2 5 Stabilization with a sink
2 6 Long-term stable configurations
2 6 1 Criticality
2 6 2 Firing equivalence
2 6 3 Superstability
2 6 4 Energy minimization
2 6 5 Duality
2 6 6 Structure
2 6 7 Burning
2 7 The sandpile Markov chain
2 7 1 Avalanche operators
2 8 Exercises
3 Spanning Trees
3 1 Spanning trees
3 2 Statistics on trees
3 2 1 Level
3 2 2 Activity
3 2 3 The Tutte polynomial
3 3 Merino's theorem
3 3 1 The O-conjecture
3 4 Cori Le Bcrgne bijection
3 5 Acyclic orientations
3 5 1 Hyperplane arrangements
3 6 Parking functions
3 7 Dominoes
3 8 Avalanche polynomials
3 8 1 Avalanche polynomials of trees
3 9 Exercises
4 Sandpile Groups
4 1 Toppling dynamics
4 2 Group of chip-firing equivalence
4 3 Identity
4 4 Combinatorial invariance
4 5 Sandpile groups and invariant factors
4 5 1 Explicit forms of the sandpile group
4 5 2 Sandpile groups of random graphs
4 6 Discriminant groups
4 7 Sandpile tcrsors
4 7 1 Rotor-routing
4 7 2 Bernardi process
4 7 3 Cycle-cocycle reversal
4 8 Exercises
5 Pattern Formation
5 1 Compelling visualizations
5 2 Infinite graphs
5 3 The one-dimensional grid
5 4 Labeled chip-firing
5 5 Two and more dimensional grids
5 5 1 Odometer
5 5 2 Support
5 5 3 Backgrounds
5 5 3 1 Higher dimensions
5 5 4 Scaling limits
5 6 Other lattices
5 7 Tile identity element
5 8 Exercises
Ⅱ Extensions
6 Avalanche Finite Systems
6 1 M-matrices
6 2 Chip-firing on M-matrices
6 3 Stability
6 3 1 Superstability
6 3 2 Criticality
6 3 3 Energy minimization
6 3 4 Uniqueness
6 4 Burning
6 5 Directed graphs
6 5 1 Digraphs
6 5 2 Stabilization
6 5 3 Toppling time
6 5 4 Oriented spanning trees
6 6 Cartan matrices as M-matrices
6 7 M-pairings
6 8 Exercises
7 Higher Dimensions
7 1 Illustrative examples
7 2 Cell complexes
7 3 Combinatorial Laplacians
7 4 Chip-firing in higher dimensions
7 5 The sandpile group
7 6 Higher-dimensional trees
7 6 1 Enumeration of trees
7 7 Sandpile groups
7 7 1 Precise forms of sandpile groups
7 8 Cuts and flows
7 9 Stability
7 9 1 M-pairings
7 10 Exercises
8 Divisors
8 1 Divisors on curves
8 2 The Picard group and Abel-Jacobi theory
8 3 Riemann-Roch Theorems
8 3 1 The rank function
8 3 2 Proof
8 4 Torelli's theorem
8 5 The Picg(G) torus
8 6 Metric graphs and tropical geometry
8 7 Arithmetic geometry
8 8 Riemann-Roch for lattices
8 9 Two-variable zeta-functions
8 10 Enumerating arithmetical structures
8 11 Exercises
9 Ideals
9 1 Toppling ideals
9 2 Tree ideals
9 3 Resolutions
9 3 1 Cellular resolutions
9 3 2 Betti numbers
9 4 Critical ideals
9 5 Riemann Roch for monomial ideals
9 6 Exercises
List of Figures
Bibliography
Index
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