數學分析的方法和典型例題 虞旦盛 9787030771841 【台灣高等教育出版社】

內容簡介
《數學分析的方法和典型例題》旨在鞏固數學分析基礎知識，補充數學分析中的一些重要方法，提高分析數學問題的思維能力和靈活運用多種知識解決問題的能力。基本框架為：對數學分析的一些重要知識點進行回顧和梳理；介紹一些重要的方法，特別是階的估計的方法和思想；通過一些考研、競賽試題等進行解題思路分析，對方法進行應用和強化，注重方法上的分析和講解。內容包括極限理論、函數的連續性、微分學、積分學、級數、廣義積分和含參量積分等。

精彩書評
一本可供高等學院數學類專業大學生學習數學分析的教材或參考書，並可作為考研、大學生數學競賽的複習資料，也可供數學分析教師教學參考

目錄

目錄
前言
第1章 極限理論 1
1 1 極限的內容概述 1
1 1 1 極限的定義、基本性質與運算 1
1 1 2 幾個重要的定理 2
1 2 階的估計的方法 3
1 2 1 階的估計的基本概念 3
1 2 2 幾個基本公式 6
1 2 3 階的估計在求極限中的應用 11
1 3 Stolz 公式 21
1 4 數列的構造與極限 31
1 5 利用定積分的定義求極限 45
第2章 函數的連續性 51
2 1 函數連續性內容概述 51
2 1 1 連續函數基本性質 51
2 1 2 閉區間上連續函數的性質 52
2 1 3 一致連續性 53
2 1 4 多元函數的極限與連續 54
2 2 函數連續性及其應用 55
2 3 函數的一致連續性 60
2 4 Lipschitz 函數類 64
第3章 微分學 69
3 1 微分學內容概述 69
3 1 1 定義 69
3 1 2 求導法則 71
3 1 3 基本定理 73
3 1 4 導數的應用 74
3 2 函數的可微性和導數的計算 77
3 3 導數介值性及其應用 81
3 4 微分中值定理的應用 86
3 5 函數可微性與不等式 96
第4章 積分學 101
4 1 積分學概述 101
4 1 1 不定積分 101
4 1 2 定積分 105
4 1 3 幾個重要的逼近定理與不等式 110
4 2 積分中的極限問題 111
4 2 1 求的極限 111
4 2 2 求的極限 113
4 2 3 求的極限 119
4 2 4 求的極限 124
4 2 5 含有積分上限函數的求極限問題 126
4 3 積分的不等式 130
4 4 積分的計算和估計 139
第5章 級數 150
5 1 級數內容概述 150
5 1 1 數項級數的基本概念 150
5 1 2 正項級數收斂性判別法 151
5 1 3 任意項級數收斂性判別法 152
5 1 4 絕對收斂級數的性質 152
5 1 5 一致收斂性的判別法 153
5 1 6 一致收斂級數的性質 155
5 1 7 冪級數 157
5 1 8 Fourier 級數 159
5 1 9 無窮乘積 161
5 2 Abel 變換及其應用 162
5 3 單調性在收斂性判別中的應用 170
5 4 Gauss 判別法 177
5 5 階的估計在級數收斂性判別中的應用 180
5 6 函數項級數的一致收斂性 185
5 7 函數項級數的解析性質 197
5 8 級數求和 209
第6章 廣義積分和含參變數積分 215
6 1 廣義積分和含參變數積分內容概述 215
6 1 1 廣義積分的收斂性 215
6 1 2 含參變數的常義積分 217
6 1 3 含參變數的廣義積分 217
6 1 4 Euler 積分 219
6 2 廣義積分的收斂性 220
6 3 廣義積分收斂和無窮遠處的極限之間的關係 231
6 4 含參變數廣義積分的一致收斂性 235
6 5 含參變數積分的解析性質 240
6 6 廣義積分的計算 247
參考文獻 261

精彩書摘
第1章極限理論
1 1極限的內容概述
1 1 1極限的定義、基本性質與運算
1 定義
(1)設{xn}是一個數列，a是實數，如果對任意給定的正數ε，都有相應的一個正數N，使得不等式|xn-a|N成立，則稱{xn}是收斂于a的數列，或稱{xn}以a為極限，記為limn→∞xn=a 不收斂的數列稱為發散數列
(2)設x0是有限數，f(x)在0N，有xn>yn，那麼當極限都存在時，必有 特別地，如果而且當n>N時，xn?b，則必有a?b
(2)若數列{xn}收斂，則它的極限是唯一的
(3)若有正整數N，使當n>N時，有xn?yn?zn，則當時，必有
(4)任何收斂的數列必是有界數列
有界數列不一定是收斂的 例如，數列{1+(-1)n+1}有界而不收斂
(5)若數列{xn}和{yn}都收斂，則{xn±yn}，{xnyn}也都收斂，而且
如果，且yn≠0，那麼數列亦收斂，而且
對於函數的極限，有類似於數列極限的基本性質和運算結果
1 1 2幾個重要的定理
1 (Cauchy(柯西)收斂準則)數列{xn}收斂的充要條件是:對任給的ε>0，相應地存在正整數N，使得|xn-xm|N，m>N都成立
Cauchy收斂準則的意義:
(1)與收斂數列的定義相比較，Cauchy收斂準則完全從數列本身出發，而不需要事先猜測出數列的極限 當然，Cauchy收斂準則對於極限的數值沒有給出任何信息
(2)Cauchy收斂準則不僅可以判斷數列的收斂性，也可以判斷髮散性 例如，取
則對於任何充分大的正整數n，都有
因此，{xn}是發散的
(3)在積分和級數斂散性的判別中，都有相應的Cauchy收斂準則，而且該準則往往是其他收斂判別法的基礎
2 單調有界的數列必是收斂的 由此可以判定極限是存在的
3 (閉區間套定理)設有一串閉區間[a1，b1]，[a2，b2]， ，[an，bn]， 滿足條件:
(1)
(2)
則諸[an，bn](n=1，2， )必有唯一公共點c，而且
4 (有限覆蓋定理)假設對於[a，b]中任意一點x，都有一個開區間I，使得x?I，以E表示所有這種I的全體，那麼可從E中選出有限個開區間，它們覆蓋區間[a，b]，即區間[a，b]中任一點x，必定屬於這有限個開區間中的某一個
5 (緻密性定理)設數列{xn}是有界的，則必有無窮多個正整數n1 6 任何非空的實數集必有上確界和下確界
以上六個實數基本定理是等價的
7 的充要條件是:對於{xn}的任一子數列{xni}，都有
由此，如果{xn}存在發散子數列，或者有兩個收斂于不同數值的子數列，則{xn}發散，這常被用來判別發散性
8 (Heine歸結原理)的充要條件是:對於任意的一個數列{xn}，xn≠x0(n=1，2， )，都有
Heine歸結原理說明了函數極限與收斂數列極限的相互關係 用它來說明極限不存在往往很方便
我們還有以下Heine歸結原理的推論:函數f在點x0極限存在的充分必要條件是:對滿足條件的每個數列{xn}，{f(xn)}的極限都存在
1 2階的估計的方法
1 2 1階的估計的基本概念
我們知道，極限理論是貫穿整個數學分析的主線，數學分析中的許多基本概念都是通過極限定義的，如連續性、可微性、可積性和級數收斂性、廣義積分收斂性等 極限過程揭示的是因變數的變化趨勢，這種趨勢是自變數變化的結果 因此極限過程實際上揭示了自變數和因變數之間的一種因果關係 極限問題經常可以化歸為對無窮小量的分析 例如，要證明，只要證明;要證明收斂，只要證明其餘項為無窮小量 無窮小量的重要性可見一斑
階的估計實際上就是一種無窮小量的分析方法 無窮大量(其倒數為無窮小量)和無窮小量只是說明了因變數的變化趨勢，而這種變化趨勢的快慢程度則經常需要由它們的階來刻畫
階的估計的一些技巧無論是在古典分析還是在現代分析中都是非常重要的，在逼近論、Fourier(傅里葉)分析、解析數論和計算數學等的研究中都需要用到大量的、精細的階的估計的技巧 因此，了解和掌握一些階的估計的概念和方法不僅對數學分析的學習是重要的，對於以後從事相關理論的研究也是大有裨益的
在本節中我們*先給出和階相關的一些概念，o和O的一些基本運演算法則以及一些基本的公式和結論 為了簡便起見，我們只考察自變數x→x0的情形，除非特殊說明，其他情形的結論都是類似的