Zakharov-Kuznetsov 方程 郭柏靈 巫軍 張穎等 9787030826251 【台灣高等教育出版社】

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書名：Zakharov-Kuznetsov 方程
ISBN：9787030826251
出版社：科學出版社
著編譯者：郭柏靈 巫軍 張穎等
頁數：228
所在地：中國大陸 *此為代購商品
書號：1742212
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內容簡介
《Zakharov-Kuznetsov方程》主要介紹了Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程的物理和力學背景，在物理上和數學理論上開展的一系列理論研究，以及取得的一系列的重要成果，其中包括ZK方程的物理推導、二維ZK方程在Hs中局部適定性*佳結果、利用Martel-Merle方法證明在高維能量空間的漸近穩定性、ZK方程孤立子不穩定性的解的爆破性研究等。

目錄

目錄

“非線性發展方程動力系統叢書”序
前言
第1章 Zakharov-Kuznetsov方程的物理背景和基本性質 1
1 1 Zakharov-Kuznetsov方程簡介 1
1 2 Zakharov-Kuznetsov方程的物理來源 2
1 3 從Euler-Poisson方程推導 ZK 方程 4
第2章 Zakharov-Kuznetsov方程的適定性 10
2 1 空間變量對稱化和Bourgain空間介紹 11
2 2 雙線性估計的證明 12
2 2 1
第1類情形:高模 14
2 2 2
第二類情形:低模，非平行 15
2 2 3
第三類情形:低模，幾乎平行 33
第3章 Zakharov–Kuznetsov孤立子解的漸近穩定性 67
3 1 ZK 方程的孤立子與線性化算子 67
3 1 1 橢圓型問題 67
3 1 2 主要結果 68
3 2 線性Liouville性質 75
3 2 1 單調性 75
3 2 2 定理3 6的證明 80
3 2 3 雙線性形式HA的強制性 83
3 3 非線性Liouville性質 86
3 3 1 孤立子附近解的調製 86
3 3 2 單調性 88
3 3 3 定理3 5的證明 98
3 3 4 雙線性形式*的強制性 101
3 4 漸近穩定性的證明 103
3 5 N-孤立子和的穩定性 122
3 5 1 問題簡化 122
3 5 2 證明簡化情況 124
附錄 3 A譜性質的數值估計 128
3 A 1 計算方法 129
3 A 2 計算結果 130
附錄 3 B (3 273)的證明 131
附錄 3 C 能量空間中的線性波與漸近穩定性 133
附錄 3 D 證明定理 3 7 134
第4章 二維Zakharov-Kuznetsov方程的孤立子不穩定性 135
4 1 不穩定性的定義及主要結論 135
4 2 廣義 ZK 方程局部存在性和線性算子L 136
4 3 解依 Q 的分解和調製理論 139
4 4 Virial 型估計 147
4 5 單調性 149
4 6 臨界gZK的Q的H-1不穩定性 152
第5章 Zakharov-Kuznetsov方程的爆破解 159
5 1 局部估計和基態解的性質 163
5 2 構造一系列行為良好的解 165
5 2 1 弱收斂的穩定性 171
5 2 2 *具有指數衰減 178
5 2 3 *的限制 190
5 3 命題5 1中(1)的證明 192
5 4 命題5 1中(2)的證明 192
5 5 命題5 2的證明 200
5 5 1 線性Liouville定理 203
5 5 2 線性Virial估計 204
附錄5 A *209
附錄 5 B w的轉換* 213
附錄5 C 譜性質的數值方法 218
5 C 1 轉移項的離散化 219
5 C 2 映射後的Chebyshev插值點 220
5 C 3 數值結果 221
5 C 4 基態Q的計算 222
參考文獻 224
“非線性發展方程動力系統叢書”已出版書目 229

精彩書摘
第1章 Zakharov-Kuznetsov方程的物理背景和基本性質
1 1 Zakharov-Kuznetsov方程簡介
Zakharov-Kuznetsov方程如下：
(1 1)
其中為實值函數，為Laplace算子 方程是如下廣義方程的一個特例：
(1 2)
其中，若，則且;若 可知
當空間維數d=1時，方程(1 2)為著名的廣義Korteweg-deVries(gKdV)方程
ZK方程由Kuznetsov和Zakharov[39]提出，用於描述二維和三維情況下離子聲波在均勻磁化等離子體中的傳播 Lannes，Linares和Saut[421由長波極限下帶磁場的Euler-Poisson方程組推導出了ZK方程 Han-Kwan丨29]同樣由冷離子和長波聯合極限下的Vlasov-Poisson方程組推導出這個方程 ZK方程有如下守恆量：
(1 3)
和
(1 4)
近年來，人們對ZK和gZK的適定性理論進行了廣泛研究 在二維情況下，Faminskii[181證明了能量空間中ZK方程Cauchy問題的整體適定性
Linares和Pastor[45]將中局部適定性結果降低至，Griinrock和Herr[26]以及Molinet和Pilod將局部適定性降低至 Ribaud和Vento得到了三維情況下ZK方程的*佳結果，他們證明了當s>1時在HS(R3)中的局部適定性，且在[67]中得到了關於時間的整體適定性 關於的gZK方程的適定性結果，可以參考[19，25，45，46，72];關於的唯一延續結果，可參考[9，10，69]
注意到，若U為方程(I 2)關於初值m0的解，則為方程(1 2)關於初值仰。知)的解，其中 因此，方程的尺度不變Sobolev空間為，其中，當時方程是臨界的類似地，當時它是次臨界的，當時它是超臨界的
1 2 Zakharov-Kuznetsov方程的物理來源
若考慮非等溫等離子體的慢動作，它位於均勻的磁場H0中(它的特徵頻率;為回旋加速器的頻率)，我們能用流體力學方程描述，其中密度為，離子速度為v，設電場是有勢的，
(1 5)
(1 6)(1 7)
這組方程描述了兩種類型的振盪：離子聲速和回旋加速器 在長波極限下有色散要素
其中rd為Debye半徑，為音速從(1 7)可以得到長波振盪電子位
和非線性與弱非線性的關係
從(1 6)中消去可得
將方程(1 5)—(1 8)分裂為低頻運動和離子音速振盪，此時可得離子音速波，離子速度可近似沿著z軸，即磁場方向 此時，描述離子聲振盪
(1 9)
離子聲速振盪的群速度直接沿著磁場，此時波傳播在相反的方向，和另一個弱相互作用 此時(1 8)，(1 9)可化為一個方程
(1 10)
(1 10)為方程空間上的拓展 沿磁場方向作變換
可得(1 9)的無量綱形式
(1 11)
(1 11)進一步可寫為形式
其中Hamilton出數究[81]為
考慮(1 11)的正常孤立波解，可得
(1 12)
當時指數衰減 為簡單化，設為球對稱，滿足方程
由(1 12)得易證孤立子Lyapunov是穩定的，這是由於
1 3從Euler-Poisson方程推導ZK方程
考慮用磁場等離子體的非線性離子聲波的Euler-Poisson方程推導方程
(1 13)
考慮在，附近的線性化方程組[42]
其中 平面波，fc3)的色散關係滿足
或者

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