流形與幾何初步 (第二版) 梅加強 9787030814647 【台灣高等教育出版社】

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書名：流形與幾何初步 (第二版)
ISBN：9787030814647
出版社：科學出版社
著編譯者：梅加強
頁數：307
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書號：1742211
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內容簡介
《流形與幾何初步（第二版）》是一本微分流形和現代幾何的入門教材。它從微分流形的定義出發，介紹了現代幾何學研究中的各種基本概念和技巧。《流形與幾何初步（第二版）》前兩章 為基礎內容，主要介紹流形上的微積分並證明Stokes積分公式；後三章 為進階內容，分別從幾何、拓撲和整體分析三個方面闡述現代幾何中的一些重要成果，如Gauss-Bonnet-Chern公式、Hodge定理以及Atiyah-Singer指標公式等。《流形與幾何初步（第二版）》內容豐富、語言簡潔，《流形與幾何初步（第二版）》含有詳細的例子和習題。凡具有微積分、線性代數、點集拓撲以及泛函分析基礎的讀者均可閱讀《流形與幾何初步（第二版）》。

目錄

目錄

第二版前言
第1版前言
第1章 微分流形 1
1 1 流形的定義和例子 1
1 2 子流形8
1 3 單位分解 16
1 4 切空間和切映射 25
1 5 Sard定理及應用33
1 6 Lie 群初步 39
第2章 流形上的微積分 47
2 1 切叢和切向量場 47
2 2 可積性定理及應用 56
2 3 向量叢和纖維叢 63
2 4 張量叢 70
2 5 微分形式 76
2 6 帶邊流形 88
2 7 Stokes積分公式 91
第3章 流形的幾何 99
3 1 度量回顧 99
3 2 聯絡105
3 3 *率113
3 4 聯絡和*率的計算 120
3 4 1 活動標架法 121
3 4 2 正規坐標 126
3 5 子流形幾何 130
3 5 1
第二基本形式 130
3 5 2 活動標架法 132
3 5 3 極小子流形 134
3 5 4 黎曼淹沒 141
3 6 齊性空間 145
3 6 1 Lie 群和不變度量 145
3 6 2 齊性空間 148
3 6 3 對稱空間 151
3 7 Gauss-Bonnet-Chern公式 157
3 7 1 向量場的指標 158
3 7 2 單位球叢上的計算 161
3 8 Chern-Weil理論167
3 9 主叢簡介 176
3 9 1 主叢上的聯絡和*率 176
3 9 2 主叢上的Chern-Weil理論 183
第4章 流形的上同調 189
4 1 de Rham 上同調回顧 189
4 2 映射度回顧 195
4 3 de Rham上同調群的計算 204
4 3 1 群作用與上同調 204
4 3 2 Mayer-Vietoris正合序列 210
4 4 Thom 類和相交數 217
4 4 1 Thom類 217
4 4 2 相交數 222
4 5 Hodge理論 227
4 5 1 Hodge星算子 228
4 5 2 Bochner技巧 233
4 6 Dirac 算子 240
4 6 1 Clifford代數 240
4 6 2 Clifford叢 249
第5章 流形上的橢圓算子 256
5 1 Sobolev空間 256
5 2 Hodge定理的證明 262
5 3 熱方程與熱核 270
5 4 跡與指標公式 281
5 5 指標公式的證明 288
5 5 1 Dirac算子的指標公式 288
5 5 2 諧振子 293
5 5 3 Atiyah-Singer指標公式 296
參考文獻 302
索引 304

精彩書摘
第1章 微分流形
本章 給出微分流形的定義，研究流形之間的映射及其線性化 我們介紹微分流形的基本研究手段，列舉了若干具體的例子，並將Lie群作為重要的例子加以介紹
1 1流形的定義和例子
中學階段學習過的平面幾何和立體幾何屬_xFFFF_歐氏幾何 歐氏幾何研究空間中的直線、平面等比較規則的圖形 大學階段的數學專業又有解析幾何和古典微分幾何的課程，其研究對象擴展到了*線和*面等不規則圖形，基本的研究工具有微積分、線性代數等 Gauss對古典微分幾何的貢獻很大，他發現*面的*率實際上只依賴於*面的第1基本形式，這為將*面從歐氏空間中抽象出來奠定了基礎 此外，Gauss-Bonnet定理將幾何量(*率)和拓撲量(Euler數)聯繫在一起，從而為運用幾何手段研究拓撲問題提供了啟發
在歐氏幾何中，第五公設丨也就是平行線公理)較難理解，許多數學家嘗試過將第五公設從歐氏幾何的體系中拿掉，這些嘗試基本上都失敗了 一個重要的原因就是人們往往將自己局限在歐氏空間中考慮問題 1854年，Riemann在其就職演講中探討了幾何學的一般基礎，提出了流形的概念 Riemann的學說囊括了以前的幾何學，以此為基礎發展起來的幾何學後來稱為Riemann幾何學，也稱為現代幾何學
流形是歐氏空間中*線、*面的抽象化，它是現代幾何學的研究對象 粗略地來說，流形是滿足若干條件的要素所構成的集合，比如物體的運動軌跡或運動狀態所形成的狀態空間等
例1 1 1考慮平面中長度為I木棒，將其一端固定，木棒繞固定端轉動，研究其所有可能的位置或狀態構成的空間
木棒一端固定，其位置就完全由另一端所決定(見圖1 1(a)) 另一端的運動軌跡是以固定端為中心，以t為半徑的圓周 圓周是所謂的1維流形(見圖1 1(b))
例1 1 2考慮平面中長度為luh的兩根木棒，在端點處用鉸鏈將它們連接起來成為雙節 棍 將其一端固定，研究雙節 棍所有可能的位置或狀態構成的空間
一端固定以後，雙節 棍的位置就完全由鉸鏈的位置和另一端的位置所決定(見圖1 2(a)) 鉸鏈的運動軌跡是以固定端為中心，以A為半徑的圓周，記為 另一端的運動軌跡相
對於鉸鏈也是一個圓周，記為 因此，雙節 棍所有可能的位置可以用乘積空間S1⑷)S\l2)來描述，這是環面，它是所謂的2維流形(見圖1 2(b))
一般地，流形可以用拓撲空間的語言來描述 回憶一下，所謂拓撲空間是指一個配對(X，t)，其中X為一個集合，t也是一個集合，其元素都是X的子集，並且滿足以下條件：
(1)
(2)r中有限個元素之交仍屬_xFFFF_;
(3)T中任意多個元素之並仍屬_xFFFF_
這樣的T稱為X上的一個拓撲，中的元素稱為開集 拓撲空間是點集拓撲學或一般拓撲學的主要研究對象 在點集拓撲學中，人們研究拓撲空間的連續性質以及在連續變換下保持不變的性質 為了運用微積分的手段研究拓撲空間的性質，我們必須對拓撲空間施加進一步的限制 在點集拓撲學中，具有可數拓撲基的拓撲空間稱為丄的，具有HausdorfF性質的拓撲空間稱為的
定義1 1 1(Cr流形)設M是具有義，性質的拓撲空間 如果存在M的開覆蓋以及相應的連續映射族，使得
(i)為從到歐氏空間開集中肌、上的同胚；
(ii)當uanup時，如下的轉換映射(見圖I 3)
為映射，則稱M為Cr流形
我們稱或為M的局部坐標覆蓋，為一個局部坐標系，Ua為局部坐標鄰域，ipa為局部坐標映射 設，記為的第i個歐氏坐標 為第個(局部)坐標函數，有時也稱為V附近的局部坐標
我們就流形的概念做一些解釋：
(1)定義1 1 1中的稱為流形的維數，也記為dimM 以後我們將知道，維數是流形的拓撲不變量 為了強調流形的維數，有時也把M記為
(2)如果所有的轉換映射都只是連續的，則稱為拓撲流形 當時，稱M為CT微分流形 如果轉換映射都是無限次可微的，則稱M為流形或光滑流形 當轉換映射都是實解析記為時，稱為實解析流形
(3)設為上的開集，為連續映射，且中的像為開集，到其像上是同胚 如果和之間的轉換映射均為Cr的，則稱、和局部坐標覆蓋是Cr相容的 利用選擇公理容易證明，對於任何一個局部坐標覆蓋，均存在一個包含它的”*大”的局部坐標覆蓋該，其中”*大”是指任何與少均相容的局部坐標系隊的都要含於貸之中 我們把這樣的貨稱為拓撲流形M的一個Cr微分構造或微分結構
(4)存在拓撲流形，該拓撲流形上不存在任何相容的微分構造；另一方面，可以證明(這是微分拓撲學的內容)，給定一個微分構造，一定存在一個相容的C°°微分構造 為了方便起見，在沒有明確說明的情況下，下面的微分流形一般指的是光滑流形
例1 1 3歐氏空間及其開集
在上取恒同映射，則成為微分流形，恒同映射是其(整體)坐標 顯然，中的開集也都是n維微分流形，這些是所謂的平凡流形;一般地，微分流形的開子集也繼承了微分結構成為微分流形
我們把上面所定義的上的微分結構稱為標準微分結構 需要注意的是，除了標準的微分結構以外，還存在和標準微分結構不相容的其他微分結構 例如，考慮R1=R上如下的映射
顯然中為同胚，因此它定義了R1上的一個微分結構，它和標準的微分結構不相容 (為什麼 )例1 1 4單位圓周S1
記
則為的子拓撲空間 令
則，因此分別在和上定義映射如下
則和％均為同胚，且轉換映射形如
同理可計算出列。它們均為光滑映射，因此為光滑流形
可以證明，在分類的意義下，R1和S1是僅有的兩個連通1維流形 為了給流形分類，我們先引入映射的概念
定義1 1 2映射)設為兩個CT微分流形之間的連續映射 如果任給和附近的局部坐標系，均存在p附近的局部坐標系，使得，且/在這兩個局部坐標系下的局部表示為映射，則稱為流形，之間的Ck映射 Ck映射的全體記為
顯然，Ck映射的複合仍為映射 注意，Ck映射的定義雖然用到局部坐標系，但由於流形定義中要求轉換映射都是CT的，故實際上映射的Ck性質不依賴於局部坐標系的選取 在定義微分流形上某種對象的時候，如果用局部坐標系來定義，則需注意驗證該定義是否與局部坐標的選取無關
定義1丄3(微分同胚)設M，N為Cr微分流形，為同胚映射 如果/及其逆映射廣1均為Cr映射，則稱f為Cr微分同胚，簡稱微分同胚
不加申明時，光滑流形之間的微分同胚指的是光滑的微分同胚 我們不區分微分同胚的流形 特別地，在同一個拓撲流形上，如果兩個微分結構定義出的微分流形是微分同胚的，則我們稱這兩個微分結構等價，我們不區分等價的微分結構 作為習題，讀者可證明例1 1 3中R1上的兩個微分結構是等價的 一般地，Moise等證明瞭維數不超過3的拓撲流形上存在唯一的微分結構 後來，Milnor發現在7維球面上存在不同於標準微分結構的微分結構，這個結果當時在數學界引起了不小的轟動 進一步的研究表明在7維球面上一共存在28個不同的微分結構，它們組成一個有限循環群 人們也早就發現，除了R4以外，歐氏空間上的微分結構都是唯一的 後來，由於Freedman和Donaldson等的工作，人們發現在4維歐氏空間上甚至存在不可數多個不同的微分結構
設為微分流形M的局部坐標覆蓋 轉換映射可以用分量表示如下

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