基於空間結構與代理模型的Fredholm積分方程求解方法研究 邱仁軍 9787550462410 【台灣高等教育出版社】

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書名：基於空間結構與代理模型的Fredholm積分方程求解方法研究
ISBN：9787550462410
出版社：西南財經大學
著編譯者：邱仁軍
頁數：119
所在地：中國大陸 *此為代購商品
書號：1716965
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內容簡介
《基於空間結構與代理模型的Fredholm積分方程求解方法研究》的撰寫旨在系統地介紹和討論Fredholm積分方程的基本理論、方法和應用。通過深入剖析Fredholm積分方程的數學特性和解法，希望能夠為讀者提供一個全面而且深入的推理過程。
該書內容主要分為七個章 節，包含五個主要部分。
（1）基於H-Hk結構，該書系統分析了Fredholm方程的解可能存在的情形，並相應地給出了算子型最小范數解析解。借助H-Hk結構，建立並證明Fredholm方程的值域空間與零補空間的等距同構關係，通過積分核明確了它們的空間結構，為Fredholm方程是否可解提供判據。對於Fredholm方程的本原問題，通過H-Hk結構呈現出各種算子型最小范數解析解，其中在平方可積空間內的最小范數解析解是最具普適性的，
（2）基於Kriging插值代理模型，該書獲得了Fredholm方程多種形式的最小範數插值解及其不確定性估計，並提出自適應的最優序貫選點策略，確保了插值解的精確性和穩定性。通過Kriging插值代理模型，獲得多種形式的最小範數插值解，解決了解析解可能存在的再生核演算困難問題。此外，該書還提出了自適應的最優序貫選點策略，相對均勻選點，用較少的插值點就能保證插值解的精確性和穩定性。特別地，退化核方程通過該策略必能在m（退化核項數）步內獲得其最小范數解析解。
（3）基於高斯過程回歸代理模型，該書將Tikhonov正則化方法推廣到誤差水平未知的情形，並獲得與該方法相似的最小範數正則解及其不確定性估計。該書從概率視角研究了Fredholm方程，通過高斯過程回歸模型明確了誤差數據對正則解產生的不確定性。此外，該書還證明了Fredholm方程的可解性邊界為差空間，它嚴格嵌入了無窮個稠密的再生核Hilbert空間。通過Cole-Hopf變換，該差空間表徵了Burgers方程的相變閾值界限，是出現轉捩現象的根本原因。
（4）基於H-Hk結構和高斯過程回歸代理模型，該書將用於求解對稱核方程的經典Picard定理推廣到一般的Fredholm方程，並獲得了普適性的有限維逼近正則解。借助H - Hk結構，將Picard定理推廣到一般的Fredholm方程，並獲得了任意正交基下的級數型最小范數解析解。基於高斯過程回歸代理模型，再將正交基函數推廣到一般的基函數，獲得了Fredholm方程的有限維逼近正則解。
（5）基於Kriging插值代理模型，Fredholm方程的插值解在大雷諾數下通過Cole-Hopf變換可獲得Burgers方程Cauchy反問題的插值解。通過對Fredholm方程的研究，其可解性邊界表徵的是Burgers方程的相變閾值邊界，並獲得Burgers方程Cauchy反問題的閉形式插值解。數值實驗表明，該插值解能刻畫大雷諾數對轉捩帶來的影響，能描述真實的流場特性。

作者簡介
邱仁軍，貴州甕安人，國防科技大學博士，貴州商學院特聘副教授；從事不確定性量化、積分方程及其數值解、算子方程及不適定問題等方向的研究，已發表多篇SCI論文。

目錄

1 緒論
1 1 研究背景
1 1 1 耗散結構與Burgers方程
1 1 2 相變機理與不確定性
1 2 國內外研究現狀
1 2 1 耗散系統Burgers方程及其反問題
1 2 2
第一類Fredholm積分方程
1 2 3 正則化方法
1 2 4 有限維逼近方法
1 3 H-Hk結構與代理模型
1 3 1 H-Hk結構
1 3 2 代理模型
1 4 關鍵問題
1 5 結構安排與創新點
1 5 1 結構安排
1 5 2 主要創新點
2 基於H-Hk結構的算子型最小范數解析解
2 1 退化核方程的解析解
2 2 可解Fredholm方程的算子型最小范數解析解
2 3 投影可解Fredholm方程的算子型最小范數解析解
2 3 1 再生核Hilbert空間
2 3 2 平方可積空間
2 3 3 值域空間的再生核延拓
2 4 算例分析
2 4 1 退化核Fredholm方程的解析解
2 4 2 非退化核Fredholm方程的解析解
2 5 小結
3 基於Kriging插值模型的最小範數插值解
3 1 Kriging插值模型
3 2 Fredholm方程的最小範數插值解及其不確定性估計
3 2 1 最小範數插值解
3 2 2 收斂性分析
3 3 基於最小化最大不確定性的序貫試驗設計
3 4 基於序貫設計求解退化核Fredholm方程的最小范數解
3 5 算例分析
3 5 1 退化核Fredholm方程的序貫選點過程
3 5 2 非退化核Fredholm方程的序貫選點過程
3 6 小結
4 基於高斯過程回歸模型的最小範數正則解
5 基於高斯過程回歸模型的有限維逼近解
6 Burgers方程算例分析
7 總結
參考文獻

前言/序言
Fredholm積分方程作為數學領域的重要分支，自其誕生以來，便吸引了眾多數學家的關注和研究。Fredholm積分方程的研究具有重要的理論和應用價值。在理論上，Fredholm積分方程為我們提供了解決一類特定問題的有效工具，其廣泛的應用涵蓋了物理、工程、經濟等多個領域。通過深入研究Fredholm積分方程，我們可以更好地理解這些領域中的複雜問題，並提出有效的解決方案。
本書的撰寫旨在系統地介紹和討論Fredholm積分方程的基本理論、方法和應用。通過深入剖析Fredholm積分方程的數學特性和解法，我希望能夠為讀者提供一個全面而且深入的推理過程。本書內容主要分為七個章 節，包含五個主要部分。
（1）基於H-Hk結構，本書系統分析了Fredholm方程的解可能存在的情形，並相應地給出了算子型最小范數解析解。借助H-Hk結構，建立並證明Fredholm方程的值域空間與零補空間的等距同構關係，通過積分核明確了它們的空間結構，為Fredholm方程是否可解提供判據。對於Fredholm方程的本原問題，通過H-Hk結構呈現出各種算子型最小范數解析解，其中在平方可積空間內的最小范數解析解是最具普適性的，
（2）基於Kriging插值代理模型，本書獲得了Fredholm方程多種形式的最小範數插值解及其不確定性估計，並提出自適應的最優序貫選點策略，確保了插值解的精確性和穩定性。通過Kriging插值代理模型，獲得多種形式的最小範數插值解，解決了解析解可能存在的再生核演算困難問題。此外，本書還提出了自適應的最優序貫選點策略，相對均勻選點，用較少的插值點就能保證插值解的精確性和穩定性。特別地，退化核方程通過該策略必能在m（退化核項數）步內獲得其最小范數解析解。
（3）基於高斯過程回歸代理模型，本書將Tikhonov正則化方法推廣到誤差水平未知的情形，並獲得與該方法相似的最小範數正則解及其不確定性估計。本書從概率視角研究了Fredholm方程，通過高斯過程回歸模型明確了誤差數據對正則解產生的不確定性。此外，本書還證明了Fredholm方程的可解性邊界為差空間，它嚴格嵌入了無窮個稠密的再生核Hilbert空間。通過Cole-Hopf變換，該差空間表徵了Burgers方程的相變閾值界限，是出現轉捩現象的根本原因。
（4）基於H-Hk結構和高斯過程回歸代理模型，本書將用於求解對稱核方程的經典Picard定理推廣到一般的Fredholm方程，並獲得了普適性的有限維逼近正則解。借助H - Hk結構，將Picard定理推廣到一般的Fredholm方程，並獲得了任意正交基下的級數型最小范數解析解。基於高斯過程回歸代理模型，再將正交基函數推廣到一般的基函數，獲得了Fredholm方程的有限維逼近正則解。
（5）基於Kriging插值代理模型，Fredholm方程的插值解在大雷諾數下通過Cole-Hopf變換可獲得Burgers方程Cauchy反問題的插值解。通過對Fredholm方程的研究，其可解性邊界表徵的是Burgers方程的相變閾值邊界，並獲得Burgers方程Cauchy反問題的閉形式插值解。數值實驗表明，該插值解能刻畫大雷諾數對轉捩帶來的影響，能描述真實的流場特性。
本書的撰寫得益于廣大數學家和工程師的研究成果，並借鑒了相關領域的最新進展。本書力求以簡潔明瞭的語言，配以詳細的數學推導和實例分析，使讀者能夠迅速掌握Fredholm積分方程的關鍵概念和解題方法。
最後，我要感謝所有對本書撰寫與出版做出貢獻的人員，包括各位研究者、同行和編輯團隊。希望本書能夠成為學術研究和工程實踐中的重要參考資料，為解決實際問題提供有力的支持和指導。
希望閱讀本書的各位能夠從中獲益，進一步深化對Fredholm積分方程②的理解，並祝願各位在實際應用中取得更多的成果。

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